Какой восточный язык важнее знать программисту, японский, корейский или китайский?

Никакой. Почти все ресурсы, посвящённые программированию, на английском языке. Конечно, есть шанс найти какой-то необычный подход на китайском или корейском, но едва ли ради этого стоит учить язык.

С одной стороны, китайский самый распространённый — но с другой, в технологическом плане Япония и Корея развита гораздо лучше. Японские статьи по программированию попадаются регулярно, китайские — никогда.

Хотя вряд ли программисты из СНГ так уж востребованны в Азии.

Японский или корейский, но только если программист как-то связан с разработкой видеоигр. Японская игровая индустрия очень развита.
А в остальном лучше сосредоточиться на английском.